取消播放三十

从麦克斯韦方程组解出毕奥萨伐尔定律

《张朝阳的物理课》介绍磁矢势

麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组。其中，电磁学的第四个方程又被称为毕奥萨伐尔定律，它描述了电流元所产生的磁场。本文将介绍如何从麦克斯韦方程组解出毕奥萨伐尔定律，并且推荐了一本物理教材《张朝阳的物理课》来帮助读者更好地理解磁矢势。

从麦克斯韦方程组解出毕奥萨伐尔定律的第一步是对方程组进行简化，只保留与电流、电荷、磁场相关的项。可以得到如下的方程组：

∇·𝐄 = 𝜌/𝜖₀ (1)

∇·𝐁 = 0 (2)

∇×𝐄 = ∂𝐁/∂𝑡 (3)

∇×𝐁 = 𝜇₀𝐉 𝜖₀∂𝐸/∂𝑡 (4)

其中，𝐄和𝐁分别表示电场和磁场，𝑡表示时间，𝜌表示电荷密度，𝐉表示电流密度，𝜖₀表示真空中的介电常数，𝜇₀表示真空中的磁导率。

我们将重点关注第四个方程，该方程描述了磁场的旋度与电流和电场的变化率之间的关系。我们可以使用矢量标量势的概念来简化方程。

根据矢量标量势的定义，我们假设磁场𝐁可以由一个矢量𝐴的旋度得来，即𝐁 = ∇×𝐴。通过代入矢量标量势的定义，我们可以将第四个方程重写为：

∇×(∇×𝐴) = 𝜇₀𝐉 𝜖₀∂(∇Φ)/∂𝑡 (5)

其中，𝜙表示电势。

根据矢量运算的恒等式，我们可以将上述方程重写为：

∇(∇·𝐴) ∇²𝐴 = 𝜇₀𝐉 𝜖₀∂(∇Φ)/∂𝑡 (6)

我们可以假设𝐴满足库伦规范，即∇·𝐴 = 0。这样，方程（6）化简为：

∇²𝐴 = 𝜇₀𝐉 𝜖₀∂(∇Φ)/∂𝑡 (7)

我们对方程（1）和（7）分别取旋度，得到：

∇×(∇×𝐄) = ∇×(∂𝐁/∂𝑡) = ∂(∇×𝐁)/∂𝑡 = ∂(𝜇₀𝐉 𝜖₀∂𝐸/∂𝑡)/∂𝑡

∇×(∇×𝐴) = ∇×𝛁²𝐴 = ∇(∇·𝐴) ∇²𝐴 = 𝜇₀∇×𝐉 𝜖₀∂(∇²Φ)/∂𝑡

根据矢量恒等式，我们可以将上述方程重写为：

∇²𝐸 ∂(∇×𝐁)/∂𝑡 = 0

∇²𝐴 𝜇₀∇×𝐉 𝜖₀∂(∇²Φ)/∂𝑡 = 0

我们可以注意到第一个方程和第二个方程中含有∇²𝑊项，其中𝑊表示电场或磁场。这可以通过应用数量场的标量波动方程来解决。

根据标量波动方程，我们有：

∇²𝑊 1/c² ∂²𝑊/∂𝑡² = 0

其中，𝑐表示光速。通过应用标量波动方程，我们可以得到：

∇²𝐸 1/c² ∂²𝐸/∂𝑡² = 0

∇²𝐴 𝜇₀∇×𝐉 𝜖₀∂(∇²Φ)/∂𝑡 = 0

这两个方程可以帮助我们解出电场𝐸和矢量磁势𝐴。

总结起来，从麦克斯韦方程组解出毕奥萨伐尔定律的关键在于简化方程组，并利用矢量标量势和库伦规范。通过取旋度等操作，将方程组转化为偏微分方程，并利用标量波动方程求解。这样，我们可以得到电场和矢量磁势的表达式。

另外，我推荐一本物理教材《张朝阳的物理课》给你，这本书对磁矢势的介绍应该能够帮助你更好地理解磁场的相关概念和推导过程。你可以查阅这本书来获得更详细的解释和示例。